On pose \(F\) l'espace vectoriel engendré par \(x\) et \(\varphi\) qui associe à un point de \(F\) son coefficient avec \(x\).

\(\varphi_F\) est dominée par \(p_C\) sur \(F\).

On peut donc étendre \(\varphi_F\) à \(E\) tout en conservant cette domination via le Théorème de Hahn-Banach.

On peut majorer \(\lvert\varphi(y)\rvert\) en utilisant la domination, en remplaceant \(p_C(y)\) par \(-p_C(-y)\).

\(\varphi\) est donc bien la fonction recherchée.

On pose \(C_0\) en translatant \(C\) par \(x_0\).

On peut alors appliquer le Théorème de séparation d'un ouvert et d'un point.

\(-\varphi\) convient alors.

On définit \(C:=B-A\) \(\to\) c'est un ouvert convexe.

Il ne contient pas \(0\) car les ensembles sont disjoints.

On peut alors appliquer le corollaire précédent.

Prendre \(\alpha=\inf_{b\in B}\varphi(b)\) fonctionne.